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大蒟蒻 9 years ago
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Algorithms/stdbanner.h
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@ -0,0 +1,116 @@
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15
OnlineJudges/poj/1284.cpp
Unescape View File

@ -0,0 +1,15 @@
#include <cstdio>
const int N = 1 << 16 | 1;
int phi[N];
int main()
{
for (int i = 2; i < N; i++) if (!phi[i])
for (int j = i; j < N; j += i)
{
if (!phi[j]) phi[j] = j;
phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
}
for (int p; ~scanf("%d", &p);)
printf("%d\n", phi[p - 1]);
return 0;
}

BIN
省选准备/assets/banner.png
View File

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Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 576 KiB

6
省选准备/assets/day3/inv.cpp
Unescape View File

@ -0,0 +1,6 @@
int inv(int a, int m)
{
int x, y;
exgcd(a, m, x, y);
return (x % m + m) % m;
}

20
省选准备/assets/day3/poj1061.cpp
Unescape View File

@ -0,0 +1,20 @@
#include <cstdio>
typedef long long int64;
int64 gcd(int64 a, int64 b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }
void exgcd(int64 a, int64 b, int64 &x, int64 &y) { b == 0 ? (x = 1, y = 0) : (exgcd(b, a % b, y, x), y -= x * (a / b)); }
int main()
{
int64 s, t, p, q, L;
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &s, &t, &p, &q, &L);
int64 a = (p - q + L) % L, b = L, c = (t - s + L) % L;
int64 x = 0, y = 0, g = gcd(a, b);
if (c % g)
puts("Impossible");
else
{
a /= g, b /= g, c /= g;
exgcd(a, b, x, y);
printf("%lld", (((x % b + b) % b) * c) % b);
}
return 0;
}

15
省选准备/assets/day3/poj1284.cpp
Unescape View File

@ -0,0 +1,15 @@
#include <cstdio>
const int N = 1 << 16 | 1;
int phi[N];
int main()
{
for (int i = 2; i < N; i++) if (!phi[i])
for (int j = i; j < N; j += i)
{
if (!phi[j]) phi[j] = j;
phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
}
for (int p; ~scanf("%d", &p);)
printf("%d\n", phi[p - 1]);
return 0;
}

19
省选准备/assets/day3/poj2142.cpp
Unescape View File

@ -0,0 +1,19 @@
#include <cstdio>
inline int abs(int x) { return x >= 0 ? x : -x; }
void exgcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y) { !b ? (x = 1, y = 0, d = a) : (exgcd(b, a % b, d, y, x), y -= x * (a / b)); }
int main()
{
int a, b, c, x, y, g, u1, v1, u2, v2;
while (~scanf("%d%d%d", &a, &b, &c) && a + b + c)
{
exgcd(a, b, g, x, y);
a /= g, b /= g, c /= g;
u1 = (x % b * c % b + b) % b;
v1 = abs((c - u1 * a) / b);
v2 = (y % a * c % a + a) % a;
u2 = abs((c - v2 * b) / a);
if (u1 + v1 > u2 + v2 || (u1 + v1 == u2 + v2 && a * u1 + b * v1 > a * u2 + b * v2)) u1 = u2, v1 = v2;
printf("%d %d\n", u1, v1);
}
return 0;
}

35
省选准备/assets/day3/proot.cpp
Unescape View File

@ -0,0 +1,35 @@
#include <cstdio>
typedef unsigned long long u64;
const size_t MAXN = 1 << 16 | 1;
bool notprime[MAXN];
int prime[MAXN], pcnt, x;
inline u64 fast_pow(u64 a, u64 b, u64 m)
{
u64 ret = 1;
for (; b; a = a * a % m, b >>= 1)
if (b & 1)
ret = ret * a % m;
return ret;
}
int main()
{
for (size_t i = 2; i < MAXN; i++)
if (!notprime[i] && (prime[pcnt++] = int(i)))
for (size_t j = i * i; j < MAXN; j += i)
notprime[j] = true;
while (~scanf("%d", &x))
for (int a = 2, flag = 0; flag == 0; a++)
{
flag = 1;
for (int i = 0, k = x - 1; i < pcnt && k > 1 && flag; i++)
if (k % prime[i] == 0)
{
flag = fast_pow(a, (x - 1) / prime[i], x) != 1;
while (k % prime[i] == 0)
k /= prime[i];
}
if (flag)
printf("%d\n", a);
}
return 0;
}

BIN
省选准备/省选基础算法.pdf
View File

Binary file not shown.

31
省选准备/省选基础算法.tex
Unescape View File

@ -4,6 +4,7 @@
\begin{document}
\setcounter{page}{0}
\maketitle
\begin{center}\includegraphics[height=20cm]{assets/banner.png}\end{center}
\newpage
\tableofcontents
\newpage
@ -298,4 +299,34 @@ Manacher 模板题
\subparagraph{算法说明}
$$M_i=\prod\limits_{j\ne i}m_j\to gcd(M_i,m_i)=1\Rightarrow \exists p_i,q_i,\,M_ip_i+m_iq_i=1$$
$$(e_i=M_i p_i)\equiv int(j==i)\pmod{m_i} \to \sum\limits_1^r e_i a_i\mod{\sum\limits_1^r m_i}\mbox{是方程的最小非负整数解}$$
\paragraph{练习题}
\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=1061}{POJ1061} - 蛤蛤的约会} +1s
\codeinput[蛤蛤的约会]{assets/day3/poj1061.cpp}
\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=2142}{POJ2142} - The Balance} 求$ax+by=c$的一组解，使得$|x|+|y|$尽量小，在前者尽量小时$|ax|+|by|$尽量小
\codeinput[The Balance]{assets/day3/poj2142.cpp}
\subsection{逆元}
\paragraph{解一元线性同余方程}
$$gcd(a,m)=1\Rightarrow\exists x,ax\equiv1\pmod{m}$$
$$ax\equiv1\pmod{m}\iff\exists k\in\mathbb{Z},\,ax-km=1$$
\codeinput[\ ]{assets/day3/inv.cpp}
\paragraph{费马小定理}
$$\forall p\in\mathbb{P}\to x^p\equiv x\pmod{p}$$被称为费马小定理，若$p\nmid x$，有
$$x^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$$于是有
$$\forall p\in\mathbb{P},x\in\mathbb{Z}\to x^{-1}\equiv x^{p-2}\pmod{p}$$
使用快速幂即可计算。
\subsection{待续：高次不定方程}
\subsection{原根}
\paragraph{阶}
$$n>1,a\in\mathbb{Z},gcd(a,n)=1\to\exists r\in[1,n],a^r\equiv1\pmod{n}$$ $r$的最小整数值称为$a$模$n$的阶，记为$Ord_n(a)$
\paragraph{阶的性质}
$$gcd(a,n)=1,r=Ord_n(a),\forall N\in\{x|a^N\equiv1\pmod{n}\}\Rightarrow r|N$$
$$gcd(a,n)=1\Rightarrow Ord_n(a)|\varphi(n)$$
$$\mbox{特别的，}p\in\mathbb{P},gcd(a,p)=1\Rightarrow Ord_p(a)|p-1\mbox{，显然}\varphi(p)=p-1$$
\paragraph{原根} $n\in\mathbb{N_+},a\in\mathbb{Z},Ord_n(a)=\varphi(n)$，则称$a$为模$n$的一个原根，由阶的定义可知原根和$n$必然互质。
\paragraph{求质数$p$的原根算法}
暴力从小到大枚举$g\in\mathbb{N_+}$，$\forall a\in\{x\;|\;x|p-1,x\in\mathbb{P}\},g^{\frac{p-1}{a}}\not\equiv1\pmod{p}$
\codeinput[Primitive Root]{assets/day3/proot.cpp}
\paragraph{练习题}
\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=1284}{POJ1284} - Primitive Roots} 如果$n\in\mathbb{N_+}$有一个原根，那么$n$一共有$\varphi(\varphi(n))$个不同余的原根
\codeinput[Primitive Roots]{assets/day3/poj1284.cpp}
\end{document}
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