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\documentclass[]{cpp}
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\title{省选基础算法}
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\author{雷宇辰}
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\begin{document}
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\setcounter{page}{0}
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\maketitle
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\begin{center}\includegraphics[height=20cm]{assets/banner.png}\end{center}
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\newpage
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\tableofcontents
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\newpage
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\setcounter{page}{1}
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\section{day1 图论}
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\subsection{有向图强连通分量的 Tarjan 算法}
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\paragraph{定义}
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在\textbf{有向图$G$}中，如果两个顶点$u,v$间存在一条路径$u$到$v$的路径且也存在一条$v$到$u$的路径，则称这两个顶点$u,v$是\textbf{强连通的(strongly connected)}。如果有向图$G$的每两个顶点都强连通，称$G$是一个\textbf{强连通图}。有向非强连通图的 极大强连通子图，称为\textbf{强连通分量(strongly connected components)}。若将有向图中的强连通分量都缩为一个点，则原图会形成一个 DAG（有向无环图）。
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\subparagraph{极大强连通子图}
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$G$是一个极大强连通子图当且仅当$G$是一个强连通子图且不存在另一个强连通子图$G'$使得$G$是$G'$的真子集。
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\paragraph{Tarjan 算法}
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定义$dfn(u)$为结点$u$搜索的次序编号，给出函数$low(u)$使得\\
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$low(u) = min$
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\\$\{$\\
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\verb| |$dfn(u),$\\
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\verb| |$low(v),$ \quad $(u,v)$为树枝边，$u$为$v$的父结点\\
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\verb| |$dfn(v)\;$ \quad $(u,v)$为后向边或指向栈中结点的横叉边
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\\$\}$\\
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当结点$u$的搜索过程结束后，若$dfn(u)=low(u)$，则以$u$为根的搜索子树上所有还在栈中的结点是一个强连通分量。
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\subparagraph{代码}$\\$
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\codeinput[tarjan - SCC]{assets/day1/tarjan-scc.cpp}
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\paragraph{练习题}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=2186}{POJ2186}/\href{http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1051}{BZOJ1051} - Popular Cows} 双倍的快乐
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\codeinput[Popular Cows]{assets/day1/poj2186.cpp}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=3180}{POJ3180} - The Cow Prom} The $N (2 <= N <= 10,000)$ cows are so excited.
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\codeinput[The Cow Prom]{assets/day1/poj3180.cpp}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=3180}{POJ1236} - Network of Schools} 强连通分量缩点求出度为0的和入度为0的分量个数
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\codeinput[Network of Schools]{assets/day1/poj1236.cpp}
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\subsection{图的割点、桥与双连通分量}
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\paragraph{定义}
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\subparagraph{点连通度与边连通度}
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在一个\textbf{无向连通图}中，如果有一个顶点集合$V$，删除顶点集合$V$，以及与$V$中顶点相连（至少有一端在$V$中）的所有边后，原图\textbf{不连通}，就称这个点集$V$为\textbf{割点集合}。\\
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一个图的\textbf{点连通度}的定义为：最小割点集合中的顶点数。\\
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类似的，如果有一个边集合，删除这个边集合以后，原图不连通，就称这个点集为\textbf{割边集合}。
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\subparagraph{双连通图、割点与桥}
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如果一个无向连通图的\textbf{点连通度大于$1$}，则称该图是\textbf{点双连通的(point biconnected)}，简称双连通或重连通。一个图有\textbf{割点}，当且仅当这个图的点连通度为$1$，则割点集合的唯一元素被称为\textbf{割点(cut point)}，又叫关节点(articulation point)。一个图可能有多个割点。\\
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如果一个无向连通图的\textbf{边连通度大于$1$}，则称该图是\textbf{边双连通的(edge biconnected)}，简称双连通或重连通。一个图有\textbf{桥}，当且仅当这个图的边连通度为$1$，则割边集合的唯一元素被称为\textbf{桥(bridge)}，又叫关节边(articulation edge)。一个图可能有多个桥。\\
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可以看出，点双连通与边双连通都可以简称为双连通，它们之间是有着某种联系的，下文中提到的双连通，均既可指点双连通，又可指边双连通。（但这并不意味着它们等价）\\
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双连通分量（分支）：在图$G$的所有子图$G'$中，如果$G'$是双连通的，则称$G'$为双连通子图。如果一个双连通子图$G'$它不是任何一个双连通子图的真子集，则$G'$为极大双连通子图。双连通分量(biconnected component)，或重连通分量，就是图的极大双连通子图。特殊的，点双连通分量又叫做块。
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\paragraph{Tarjan 算法}
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给出函数$low(u)$使得\\
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$low(u) = min$
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\\$\{$\\
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\verb| |$dfn(u),$\\
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\verb| |$low(v),$ \quad $(u,v)$为树枝边(父子边)\\
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\verb| |$dfn(v)\;$ \quad $(u,v)$为后向边(返祖边) 等价于$dfn(v)<dfn(u)$且$v$不为$u$的父亲结点
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\\$\}$\\
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\subparagraph{代码}$\\$
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\codeinput[tarjan - BCC]{assets/day1/tarjan-bcc.cpp}
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\paragraph{练习题}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=3177}{POJ3177} - Redundant Paths}
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将一张有桥图通过加边变成边双连通图，至少要加$\frac{leaf+1}{2}$条边。
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\codeinput[Redundant Paths]{assets/day1/poj3177.cpp}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=1523}{POJ1523} - SPF}
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求割点与删除这个点之后有多少个连通分量
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\codeinput[Redundant Paths]{assets/day1/poj1523.cpp}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=2942}{POJ2942} - Knights of the Round Table}
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这题过于复杂，我来先给个\href{http://blog.csdn.net/lyy289065406/article/details/6756821}{别人的题解}。然后是我自己的实现（仿佛还是没看懂。
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\\ //实现被狗吃了
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%\codeinput[Knights of the Round Table]{assets/day1/poj2942.cpp}
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\subsection{2-SAT}
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\paragraph{定义}
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给定一个布尔方程，判断是否存在一组布尔变量的取值方案，使得整个方程值为真的问题，被称为布尔方程的可满足性问题(SAT)。SAT问题是NP完全的，但对于一些特殊形式的SAT问题我们可以有效求解。\\
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我们将下面这种布尔方程称为合取范式：
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$$(a\lor b\lor c\lor\cdots)\land(d\lor e\lor f\lor\cdots)\land\cdots$$
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其中$a,b,c,\cdots$称为文字，它是一个布尔变量或其否定。像$(a\lor b\lor c\lor\cdots)$这样用$\lor$连接的部分称为子句。如果合取范式的每个子句中的文字个数都不超过两个，那么对应的SAT问题又称为\textbf{2-SAT}问题。
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\paragraph{解法}
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对于给定的\textbf{2-SAT}问题，首先利用$\Rightarrow$将每个子句$(a\lor b)$改写成等价形式$(\neg a\Rightarrow b\land a\Rightarrow\neg b)$.这样原布尔公式就变成了把$a\Rightarrow b$形式的布尔公式用$\land$连接起来的形式。\\
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对每个布尔变量$x$构造两个顶点分别代表$x$与$\neg x$。以$\Rightarrow$关系为边建立有向图。若在此图中$a$点能到达$b$点，就表示$a$为真时$b$也一定为真。因此该图中同一个强连通分量中所含的所有变量的布尔值均相同。\\
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若存在某个变量$x$,代表$x$与$\neg x$的两个顶点在同一个强连通分量中，则原布尔表达式的值无法为真。\\
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反之若不存在这样的变量，那么我们先将原图中所有的强连通分量缩为一个点，构出一个新图，新图显然是一个拓扑图，我们求出它的一个拓扑序。那么对于每个变量$x$，\textbf{$$x\text{所在的强连通分量（新图中的点）的拓扑序在}\neg x\text{所在的强连通分量之后}\Leftrightarrow x\text{为真}$$}就是一组合适布尔变量赋值。注意到 Tarjan 算法所求的强连通分量就是按拓扑序的逆序得出的，因此不需要真的缩点建新图求拓扑序，直接利用强连通分量的编号来当做顺序即可。
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\paragraph{练习题}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=3648}{POJ3648} - Wedding}
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Additionally, there are several pairs of people conducting adulterous relationships (both different-sex and same-sex relationships are possible)
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\codeinput[adulterous relationships]{assets/day1/poj3648.cpp}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=3678}{POJ3678} - Katu Puzzle} 我什么时候做过这个题？
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\codeinput[Katu Puzzle]{assets/day1/poj3678.cpp}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=2749}{POJ2749} - Building roads} 杀光奶牛问题就会得到解决
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\codeinput[Building roads]{assets/day1/poj2749.cpp}
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\subsection{欧拉回路}
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\paragraph{定义}
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设$G=(V,E)$是一个图。
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\subparagraph{欧拉回路} 图$G$中经过\textbf{每条边一次}并且\textbf{仅一次}的回路称作欧拉回路。
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\subparagraph{欧拉路径} 图$G$中经过\textbf{每条边一次}并且\textbf{仅一次}的路径称作欧拉路径。
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\subparagraph{欧拉图} 存在\textbf{欧拉回路}的图称为欧拉图。
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\subparagraph{半欧拉图} 存在欧拉路径但不存在欧拉回路的图称为半欧拉图。
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\paragraph{性质与定理}
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以下不加证明的给出一些定理\quad\sout{（因为我懒得抄讲义了}
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\subparagraph{定理 1} 无向图$G$为欧拉图，当且仅当$G$为连通图且所有顶点的度为偶数。
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\subparagraph{推论 1} 无向图$G$为半欧拉图，当且仅当$G$为连通图且除了两个顶点的度为奇数之外，其它所有顶点的度为偶数。
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\subparagraph{定理 2} 有向图$G$为欧拉图，当且仅当$G$的基图\footnote{忽略有向图所有边的方向，得到的无向图称为该有向图的基图。}连通，且所有顶点的入度等于出度。
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\subparagraph{推论 2} 有向图$G$为半欧拉图，当且仅当$G$的基图连通，且存在顶点$u$的入度比出度大1、$v$的入度比出度小1，其它所有顶点的入度等于出度。
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\paragraph{解法}
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由此可以得到以下求欧拉图$G$的欧拉回路的算法：
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\begin{enumerate}
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\item 在图$G$中任意找一个回路$C$。
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\item 将图$G$中属于回路$C$的边删除
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\item 在残留图的各极大连通子图中分别寻找欧拉回路。
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\item 将各极大连通子图的欧拉回路合并到$C$中得到图$G$的欧拉回路。
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\end{enumerate}
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该算法的伪代码如下：
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\begin{verbatim}
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void dfs(u)
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{
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for (edge e : edges[u])
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if (!flag[e])
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{
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flag[e] = true;
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flag[rev(e)] = true; //如果图 G 是有向图则删去本行
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dfs(e.to);
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S.push(v);
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}
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}
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\end{verbatim}
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最后依次取出栈$S$每一条边而得到图$G$的欧拉回路(也就是边出栈序的逆序)。由于该算法执行过程中每条边最多访问两次，因此该算法的时间复杂度为$O(|E|)$。
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\paragraph{练习题}
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\subparagraph{\href{http://uoj.ac/problem/117}{UOJ117} - 欧拉回路}
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混合两个子任务使代码风格变得鬼畜起来。
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\codeinput[Building roads]{assets/day1/uoj117.cpp}
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\section{day2 字符串（一）}
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\subsection{KMP}
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\paragraph{算法介绍} 用来在线性时间内匹配字符串
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\paragraph{算法流程}
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我觉得鏼鏼鏼在WC上讲的比较清楚，于是我开始抄讲义。\\
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\textbf{字符串：} $s[1\ldots n]$, $|s| = n$。\\
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\textbf{子串：} $s[i\ldots j] = s[i]s[i + 1]\cdots[j]$。\\
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\textbf{前缀：} $pre(s,x) = s[1\ldots x]$, 后缀：$suf(s,x) = s[n − x + 1\ldots n]$\\
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若 $0 \leq r \le |s|, pre(s,r) = suf(s,r)$, 就称 $pre(s,r)$ 是 $s$ 的 \textbf{border}。\\
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KMP算法的第一步主要做这么一件事：在$O(n)$时间求出数组$next[1\ldots n]$, 其中$next[i]$表示前缀$s[1\ldots i]$的最大 border 长度。
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于是可以知道$s$的所有 border 长度为${next[n],next[next[n]],\cdots}$，我想这是显然的，于是不加证明的在这里给出。\\
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第二步就是匹配，如果失配了就把模式串的当前位置指针$i$跳到$next[i]$处然后继续匹配，然后就好了。
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\paragraph{算法实现}$\\$
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\codeinput[genNext]{assets/day2/kmp-genNext.cpp}
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\codeinput[Find]{assets/day2/kmp-Find.cpp}
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\paragraph{练习题}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=3461}{POJ3461} - Oulipo} 求出所有匹配位置
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\codeinput[Oulipo]{assets/day2/poj3461.cpp}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=2406}{POJ2406} - Power Strings} $next$数组的奇妙性质
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\codeinput[Power Strings]{assets/day2/poj2406.cpp}
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\subparagraph{\href{http://codeforces.com/problemset/problem/526/D}{CF526D} - Om Nom and Necklace} 啥？
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\codeinput[Om Nom and Necklace]{assets/day2/CF526D.cpp}
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讲道理我KMP真的学的不是很明白，望各位dalao给予指导。
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\subsection{Trie}
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\paragraph{简介}
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字典树，也称 Trie、字母树，指的是某个字符串集合对应的形如下图的有根树。树的每条边上对应有恰好一个字符，每个顶点代表从根到该节点的路径所对应的字符串（将所有经过的边上的字符按顺序连接起来）。
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\paragraph{实现} 水
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\codeinput[Trie - impl]{assets/day2/trieImpl.cpp}
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\paragraph{练习题}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=3630}{POJ3630} - Phone List}
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若插入过程中，有某个经过的节点带有串结尾标记，则之前插入的某个串是当前串的前缀。
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\codeinput[Oulipo]{assets/day2/poj3630.cpp}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=2945}{POJ2945} - Find the Clones}
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$n$个基因片段，每个长度为$m$，输出$n$行表示重复出现$i$次$(1 \leq i \leq n)$的基因片段的个数
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\codeinput[Find the Clones]{assets/day2/poj2945.cpp}
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\subsection{Aho–Corasick Automaton}
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\paragraph{简介}
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多模式串字符串匹配，Trie上的KMP，其中$next$数组变成了$fail$指针，功能相同。
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\paragraph{实现}
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Trie的实现上文已经出现，所以此处不再重复。
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\codeinput[buildFail]{assets/day2/AC-buildFail.cpp}
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\paragraph{练习题}
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\subparagraph{\href{http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2222}{HDU2222} - Keywords Search}
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AC 自动机模板题，注意统计答案时，每个节点只能统计一次不要重复统计。
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\codeinput[Keywords Search]{assets/day2/hdu2222.cpp}
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\subsection{Manacher}
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求出字符串每一位的回文半径，算法流程奥妙重重，不易让常人理解，然后我就抄了份板子改了改，然后就比讲义上的标程快了$20\%$。
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\paragraph{练习题}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=3974}{POJ3974} - Palindrome}
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Manacher 模板题
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\codeinput[Palindrome]{assets/day2/poj3974.cpp}
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\section{day3 简单数学}
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说是简单数学其实我后半部分也没看懂，等明天来补欠债。20170215\\
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\subsection{整除及剩余}
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\paragraph{整除定义}
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设$a,b$是两个整数，且$b\neq0$.如果存在整数$c$，使得$a=bc$，则称$a$被$b$整除，或$b$整除$a$，记作$b|a$。此时，又称$a$是$b$的倍数，$b$是$a$的因子。
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\paragraph{整除的基本性质}
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\begin{enumerate}
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\item $a|b \land a|c \Rightarrow a|(b+c)$
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\item $a|b \Rightarrow \forall c\in\mathbb{Z},\ a|bc$
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\item $a|b \land b|c \Rightarrow a|c$
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\end{enumerate}
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\paragraph{同余基本定义和定理}
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\subparagraph{定义1：带余除法}
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$$\forall a\in\mathbb{Z},b\in\mathbb{Z^{*}}\to\exists q,r\in\mathbb{Z},a=qb+r,r\in [0,|b|)$$
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\subparagraph{定义2：同余}
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$$a\!\!\!\!\mod m = b\!\!\!\!\mod m \iff a\equiv b\!\!\!\!\pmod{m}$$
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\subparagraph{定义3：剩余类}
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$$\mathbf{A_i}=\{x|x\in\mathbb{Z}\land x\!\!\!\!\mod{m} = i\}\to\forall a,b\in\mathbf{A_i},a\equiv b\!\!\!\!\pmod{m}$$
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\subparagraph{定义4：完系}
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$$\{a_1\!\!\!\!\mod m,a_2\!\!\!\!\mod m,\ldots,a_n\!\!\!\!\mod m\}=\{0,1,2,\ldots,m-1\}$$
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\subparagraph{定理1}
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$$a\equiv b\!\!\!\!\pmod{m}\iff\exists k\in\mathbb{Z},a=b+km\iff m|(a-b)$$
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\subparagraph{定理2} 同余关系是等价关系
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\begin{enumerate}
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\item $a\equiv a\pmod{m}$
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\item $a\equiv b\pmod{m}\Rightarrow b\equiv a\pmod{m}$
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\item $a\equiv b\pmod{m} \;\land\; b\equiv c\pmod{m}\Rightarrow a\equiv c\pmod{m}$
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\end{enumerate}
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\subparagraph{定理3} 同余的三则运算\\
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$a,b,c\in\mathbb{R},m\in\mathbb{N^*}, a\equiv b\pmod{m} \Rightarrow$
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\begin{enumerate}
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\item $a+c\equiv b+c\pmod{m}$
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\item $a-c\equiv b-c\pmod{m}$
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\item $ac\equiv bc\pmod{m}$
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\end{enumerate}
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|
\subparagraph{定理4} 同余式的三则运算\\
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$a,b,c\in\mathbb{R},m\in\mathbb{N^*}, a\equiv b\pmod{m} \land c\equiv d\pmod{m} \Rightarrow$
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\begin{enumerate}
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\item $ax+cy\equiv bx+dy\pmod{m}\qquad x,y\in\mathbb{Z}$
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\item $ac\equiv bd\pmod{m}$
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\item $a^n\equiv b^n\pmod{m}\qquad n\in\mathbb{N^*}$
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\item $f(a)\equiv f(b)\pmod{m}\qquad f(x)$为任一整系数多项式
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\end{enumerate}
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\subparagraph{定理5}
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\begin{enumerate}
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\item $a\equiv b\pmod{m}\land d|m \Rightarrow a\equiv b\pmod{d}$
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\item $a\equiv b\pmod{m}\Rightarrow gcd(a,m)=gcd(b,m)$
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\item $\forall i \in [1,n]\ ,\;a\equiv b\pmod{m_i} \iff a\equiv b\pmod{lcm(m_1,m_2,\ldots,m_n)}$
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\end{enumerate}
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\subsection{素数}
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\paragraph{定义}
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素数（质数）是大于$1$的正整数，并且除了$1$和它本身不能被其他正整数整除。大于$1$的非素数的正整数称为合数。
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\paragraph{分布}
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素数有无穷多个.如果使用$\pi(x)$表示小于一个正实数$x$的素数有多少个，那么有$$\lim\limits_{x\rightarrow{\infty}}\frac{\pi(x)}{x}=\ln{x}$$
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\paragraph{算术基本定理/惟一分解定理}
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$$n=\prod\limits_{i=1}^\infty p_i^{a_i} \qquad p_i\in\mathbb{P},\;a_i\in\mathbb{N}$$
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\paragraph{判定}
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$$n\in\mathbb{P}\iff\forall i\in[2,\sqrt{n}],\;i\nmid n$$
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\paragraph{Eratosthenes 筛法} $ $
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\codeinput[Eratosthenes Sieve]{assets/day3/Eratosthenes.cpp}
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\paragraph{欧拉函数} 欧拉函数$\varphi(n)$指不超过$n$且与$n$互素的正整数的个数，其中$n$是一个正整数。
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\subparagraph{欧拉函数的性质} $n=\prod\limits_{i=1}^m p_i^{a_i}\to\varphi(n)=\prod\limits_{i=1}^m\varphi(p_i^{a_i})$
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\subparagraph{定理1} $p\in\mathbb{P}\iff\varphi(p)=p-1$
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\subparagraph{定理2} $p\in\mathbb{P},\;a\in\mathbb{N_+}\Rightarrow\varphi(p^a)=p^{a}-p^{a-1}$
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\subparagraph{定理3} $m,n\in\mathbb{N_+}\land gcd(m,n)=1\Rightarrow\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$
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\subparagraph{定理4} $n=\prod\limits_{i=1}^m p_i^{a_i}\to\varphi(n)=n\prod\limits_{i=1}^{m}(1-\frac{1}{p_i})$
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\subparagraph{推论} $n\equiv1\pmod2\to\varphi(2n)=\varphi(n)$
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\subparagraph{定理5} $n\in(2,+\infty)\bigcap\mathbb{Z}\Rightarrow\varphi(n)\equiv0\pmod2$
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\subparagraph{定理6} $n\in\mathbb{N_+}\Rightarrow\sum\limits_{d|n}\varphi(n)=n$
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\subparagraph{欧拉定理} $gcd(a,m)=1,a\in\mathbb{N_+},m\in[2,+\infty)\bigcap\mathbb{Z}\Rightarrow a^{\varphi(m)}\equiv1\pmod{m}$
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\subparagraph{费马小定理} $m\in\mathbb{P}\Rightarrow a^{m-1}\equiv1\pmod{m}$
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\paragraph{练习题}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=2689}{POJ2689} - Prime Distance} 暴力筛掉合数
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\codeinput[Prime Distance]{assets/day3/poj2689.cpp}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=3421}{POJ3421} - X-factor Chains} 质因子的排列组合
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\codeinput[X-factor Chains]{assets/day3/poj3421.cpp}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=3090}{POJ3090} - Visible Lattice Points} 欧拉函数
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\codeinput[Visible Lattice Points]{assets/day3/poj3090.cpp}
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\subsection{欧几里得算法}
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\paragraph{最大公约数与最小公倍数}
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\subparagraph{定义1} 设$a$和$b$是两个整数，如果$d|a$ 且$d|b$，则称$d$是$a$与$b$的公因子
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\subparagraph{定义2} 设$a$和$b$是两个不全为$0$的整数，称$a$与$b$的公因子中最大的为$a$与$b$的最大公因子，或最大公约数，记作$gcd(a,b)$
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\subparagraph{定义3} 设$a$和$b$是两个非零整数，称$a$与$b$最小的正公倍数为$a$与$b$的最小公倍数，记作$lcm(a,b)$
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\paragraph{最大公约数与最小公倍数的性质}
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\begin{enumerate}
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\item $a|m \land b|m \Rightarrow lcm(a,b)|m$
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\item $d|a \land d|b \Rightarrow d|gcd(a,b)$
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\item $lcm(a,b)=\frac{ab}{gcd(a,b)}$
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\item $m,a,b\in\mathbb{N_+}\to lcm(ma,mb)=m\times lcm(a,b)\ ,\;\ gcd(ma,mb)=m \times gcd(a,b)$
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\end{enumerate}
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\paragraph{计算方法}
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\subparagraph{素因子分解法}
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令 $$a=\prod\limits_{i=1}^{m}p_{i}^{r_i}\;,\quad\;b=\prod\limits_{i=1}^{m}p_{i}^{s_i}$$
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于是 $$gcd(a,b)=\prod\limits_{i=1}^{m}p_{i}^{min(r_i,s_i)}\;,\quad\;lcm(a,b)=\prod\limits_{i=1}^{m}p_{i}^{max(r_i,s_i)}$$
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\subparagraph{欧几里得算法1} $$gcd(a,b)=gcd(b,a\!\!\!\!\mod b)$$
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\subparagraph{欧几里得算法2} $$gcd(a,b)=gcd(a,a-b)$$
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\paragraph{拓展欧几里得算法} 不理解就记下来
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\codeinput[exgcd]{assets/day3/exgcd.cpp}
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\subsection{线性同余方程}
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\paragraph{二元一次不定方程}
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\subparagraph{定义1} $a,b,c\in\mathbb{Z},a\ne0,b\ne0$，那形如$ax+by=c$的方程称为二元一次不定方程。
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\subparagraph{定理1} 设$a,b\in\mathbb{Z}$且$d=gcd(a,b)$，如果$d|c$，那么方程存在无穷多个整数解，否则方程不存在整数解。
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\subparagraph{定理2} 如果不定方程有解且特解为$x=x_0,y=y_0$那么方程的解可以表示为$$x=x_0+\frac{b}{d}t,y=y_0-\frac{a}{d}t,\mbox{其中}t\in\mathbb{Z}$$
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\paragraph{同余方程与不定方程} 在$a>0$且$b>0$的条件下，求二元一次方程$ax+by=c$的整数解等价于求一元线性同余方程$ax\equiv c\bmod{b}$的整数解
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\paragraph{求一元线性同余方程}
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要求$ax\equiv c\bmod{b}$，即为求$ax+my=b$的解。记$d=gcd(a,m)$，先使用拓展欧几里得求$ax+my=b$，如果$d\nmid b$则无解，否则$\mod m$意义下的解有$d$个，可以通过对其中某个解不断地加$\frac{m}{d}$得到。(这$d$个解的形式为$x_0+\frac{m}{d}t,\;t\in\mathbb{Z}$,其中$x_0$是已知的一个解)
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\paragraph{中国剩余定理}
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若$m_1,m_2,m_3,\ldots,m_r$是两两互素的正整数，则同余方程组
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\begin{equation}
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\left\{
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\begin{aligned}
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& x\equiv a_1\pmod{m_1}\\
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& x\equiv a_2\pmod{m_2}\\
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& x\equiv a_3\pmod{m_3}\\
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& \cdots\\
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& x\equiv a_r\pmod{m_r}\\
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\end{aligned}
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\right.
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\end{equation}
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有$\mod M=\prod\limits_1^r m$的唯一解，即为中国剩余定理。\\
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若$n=pq$且$gcd(p,q)=1$，那么$x\mod p,x\mod q$的值确定后，$x\mod n$的值也会随之确定。
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\subparagraph{算法说明}
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$$M_i=\prod\limits_{j\ne i}m_j\to gcd(M_i,m_i)=1\Rightarrow \exists p_i,q_i,\,M_ip_i+m_iq_i=1$$
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$$(e_i=M_i p_i)\equiv int(j==i)\pmod{m_i} \to \sum\limits_1^r e_i a_i\mod{\sum\limits_1^r m_i}\mbox{是方程的最小非负整数解}$$
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\paragraph{练习题}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=1061}{POJ1061} - 蛤蛤的约会} +1s
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\codeinput[蛤蛤的约会]{assets/day3/poj1061.cpp}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=2142}{POJ2142} - The Balance} 求$ax+by=c$的一组解，使得$|x|+|y|$尽量小，在前者尽量小时$|ax|+|by|$尽量小
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\codeinput[The Balance]{assets/day3/poj2142.cpp}
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\subsection{逆元}
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\paragraph{解一元线性同余方程}
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$$gcd(a,m)=1\Rightarrow\exists x,ax\equiv1\pmod{m}$$
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$$ax\equiv1\pmod{m}\iff\exists k\in\mathbb{Z},\,ax-km=1$$
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\codeinput[\ ]{assets/day3/inv.cpp}
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\paragraph{费马小定理}
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$$\forall p\in\mathbb{P}\to x^p\equiv x\pmod{p}$$被称为费马小定理，若$p\nmid x$，有
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$$x^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$$于是有
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$$\forall p\in\mathbb{P},x\in\mathbb{Z}\to x^{-1}\equiv x^{p-2}\pmod{p}$$
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使用快速幂即可计算。
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\subsection{待续：高次不定方程}
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\subsection{原根}
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\paragraph{阶}
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$$n>1,a\in\mathbb{Z},gcd(a,n)=1\to\exists r\in[1,n],a^r\equiv1\pmod{n}$$ $r$的最小整数值称为$a$模$n$的阶，记为$Ord_n(a)$
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\paragraph{阶的性质}
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$$gcd(a,n)=1,r=Ord_n(a),\forall N\in\{x|a^N\equiv1\pmod{n}\}\Rightarrow r|N$$
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$$gcd(a,n)=1\Rightarrow Ord_n(a)|\varphi(n)$$
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$$\mbox{特别的，}p\in\mathbb{P},gcd(a,p)=1\Rightarrow Ord_p(a)|p-1\mbox{，显然}\varphi(p)=p-1$$
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\paragraph{原根} $n\in\mathbb{N_+},a\in\mathbb{Z},Ord_n(a)=\varphi(n)$，则称$a$为模$n$的一个原根，由阶的定义可知原根和$n$必然互质。
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\paragraph{求质数$p$的原根算法}
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暴力从小到大枚举$g\in\mathbb{N_+}$，$\forall a\in\{x\;|\;x|p-1,x\in\mathbb{P}\},g^{\frac{p-1}{a}}\not\equiv1\pmod{p}$
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\codeinput[Primitive Root]{assets/day3/proot.cpp}
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\paragraph{练习题}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=1284}{POJ1284} - Primitive Roots} 如果$n\in\mathbb{N_+}$有一个原根，那么$n$一共有$\varphi(\varphi(n))$个不同余的原根
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\codeinput[Primitive Roots]{assets/day3/poj1284.cpp}
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\end{document} |
