diff --git a/Algorithms/stdbanner.h b/Algorithms/stdbanner.h new file mode 100644 index 0000000..c161c66 --- /dev/null +++ b/Algorithms/stdbanner.h @@ -0,0 +1,116 @@ +/* + :Zu + iB@B@i iGM; + i@@B@@@B2 7B@B@B@. + @@@@B@B@B@u iM@B@B@B@BL + B@B@N OB@@@BY F@@@B@BMM@B@O + E@B@B .O@B@B@: :BB@@@B@0U7FB@B@ + :@B@B. .@B@B@O YB@B@B@OSYJjuU@B@B + @B@B5 rB@B@B7 u@B@B@BNuYj1UFuuB@B@i + 2@@@@ N@@@@M 5B@B@BBkjYU252511JMB@B1 + @@B@i :@@@B@ J@B@@@MFLju515151FUJE@B@M + F@B@B @@@B@, iB@B@@B1YJ12F152F1511JPB@B@ + @B@B: EB@@@. . .::::.... O@@B@BSLuU51F151F15152u2@B@B + L@@B@ 0B@B@ .:rLuk8MB@B@B@B@B@B@@@B@B@B@B@@@@@B@B@G@@@B@PuY2251F1F151F1F1Fu2B@B@. + B@@@Y @B@BB2MB@B@@@B@B@B@B@B@B@B@B@B@B@B@B@B@B@B@B@B@B@B@B@BMujU52F1F151525151511Y@@@Bi + @B@B @B@@@B@@@B@@@B@@@BBZNuu7ri:,,.. 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(x = 1, y = 0) : (exgcd(b, a % b, y, x), y -= x * (a / b)); } +int main() +{ + int64 s, t, p, q, L; + scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &s, &t, &p, &q, &L); + int64 a = (p - q + L) % L, b = L, c = (t - s + L) % L; + int64 x = 0, y = 0, g = gcd(a, b); + if (c % g) + puts("Impossible"); + else + { + a /= g, b /= g, c /= g; + exgcd(a, b, x, y); + printf("%lld", (((x % b + b) % b) * c) % b); + } + return 0; +} \ No newline at end of file diff --git a/省选准备/assets/day3/poj1284.cpp b/省选准备/assets/day3/poj1284.cpp new file mode 100644 index 0000000..8ec6ebe --- /dev/null +++ b/省选准备/assets/day3/poj1284.cpp @@ -0,0 +1,15 @@ +#include +const int N = 1 << 16 | 1; +int phi[N]; +int main() +{ + for (int i = 2; i < N; i++) if (!phi[i]) + for (int j = i; j < N; j += i) + { + if (!phi[j]) phi[j] = j; + phi[j] = phi[j] / i * (i - 1); + } + for (int p; ~scanf("%d", &p);) + printf("%d\n", phi[p - 1]); + return 0; +} \ No newline at end of file diff --git a/省选准备/assets/day3/poj2142.cpp b/省选准备/assets/day3/poj2142.cpp new file mode 100644 index 0000000..0ddc98c --- /dev/null +++ b/省选准备/assets/day3/poj2142.cpp @@ -0,0 +1,19 @@ +#include +inline int abs(int x) { return x >= 0 ? x : -x; } +void exgcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y) { !b ? (x = 1, y = 0, d = a) : (exgcd(b, a % b, d, y, x), y -= x * (a / b)); } +int main() +{ + int a, b, c, x, y, g, u1, v1, u2, v2; + while (~scanf("%d%d%d", &a, &b, &c) && a + b + c) + { + exgcd(a, b, g, x, y); + a /= g, b /= g, c /= g; + u1 = (x % b * c % b + b) % b; + v1 = abs((c - u1 * a) / b); + v2 = (y % a * c % a + a) % a; + u2 = abs((c - v2 * b) / a); + if (u1 + v1 > u2 + v2 || (u1 + v1 == u2 + v2 && a * u1 + b * v1 > a * u2 + b * v2)) u1 = u2, v1 = v2; + printf("%d %d\n", u1, v1); + } + return 0; +} \ No newline at end of file diff --git a/省选准备/assets/day3/proot.cpp b/省选准备/assets/day3/proot.cpp new file mode 100644 index 0000000..ea5e26a --- /dev/null +++ b/省选准备/assets/day3/proot.cpp @@ -0,0 +1,35 @@ +#include +typedef unsigned long long u64; +const size_t MAXN = 1 << 16 | 1; +bool notprime[MAXN]; +int prime[MAXN], pcnt, x; +inline u64 fast_pow(u64 a, u64 b, u64 m) +{ + u64 ret = 1; + for (; b; a = a * a % m, b >>= 1) + if (b & 1) + ret = ret * a % m; + return ret; +} +int main() +{ + for (size_t i = 2; i < MAXN; i++) + if (!notprime[i] && (prime[pcnt++] = int(i))) + for (size_t j = i * i; j < MAXN; j += i) + notprime[j] = true; + while (~scanf("%d", &x)) + for (int a = 2, flag = 0; flag == 0; a++) + { + flag = 1; + for (int i = 0, k = x - 1; i < pcnt && k > 1 && flag; i++) + if (k % prime[i] == 0) + { + flag = fast_pow(a, (x - 1) / prime[i], x) != 1; + while (k % prime[i] == 0) + k /= prime[i]; + } + if (flag) + printf("%d\n", a); + } + return 0; +} \ No newline at end of file diff --git a/省选准备/省选基础算法.pdf b/省选准备/省选基础算法.pdf index 4e12a83..96b1294 100644 Binary files a/省选准备/省选基础算法.pdf and b/省选准备/省选基础算法.pdf differ diff --git a/省选准备/省选基础算法.tex b/省选准备/省选基础算法.tex index 062f8df..f7defb3 100644 --- a/省选准备/省选基础算法.tex +++ b/省选准备/省选基础算法.tex @@ -4,6 +4,7 @@ \begin{document} \setcounter{page}{0} \maketitle +\begin{center}\includegraphics[height=20cm]{assets/banner.png}\end{center} \newpage \tableofcontents \newpage @@ -298,4 +299,34 @@ Manacher 模板题 \subparagraph{算法说明} $$M_i=\prod\limits_{j\ne i}m_j\to gcd(M_i,m_i)=1\Rightarrow \exists p_i,q_i,\,M_ip_i+m_iq_i=1$$ $$(e_i=M_i p_i)\equiv int(j==i)\pmod{m_i} \to \sum\limits_1^r e_i a_i\mod{\sum\limits_1^r m_i}\mbox{是方程的最小非负整数解}$$ +\paragraph{练习题} +\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=1061}{POJ1061} - 蛤蛤的约会} +1s +\codeinput[蛤蛤的约会]{assets/day3/poj1061.cpp} +\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=2142}{POJ2142} - The Balance} 求$ax+by=c$的一组解，使得$|x|+|y|$尽量小，在前者尽量小时$|ax|+|by|$尽量小 +\codeinput[The Balance]{assets/day3/poj2142.cpp} +\subsection{逆元} +\paragraph{解一元线性同余方程} + $$gcd(a,m)=1\Rightarrow\exists x,ax\equiv1\pmod{m}$$ + $$ax\equiv1\pmod{m}\iff\exists k\in\mathbb{Z},\,ax-km=1$$ +\codeinput[\ ]{assets/day3/inv.cpp} +\paragraph{费马小定理} + $$\forall p\in\mathbb{P}\to x^p\equiv x\pmod{p}$$被称为费马小定理，若$p\nmid x$，有 + $$x^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$$于是有 + $$\forall p\in\mathbb{P},x\in\mathbb{Z}\to x^{-1}\equiv x^{p-2}\pmod{p}$$ + 使用快速幂即可计算。 +\subsection{待续：高次不定方程} +\subsection{原根} +\paragraph{阶} + $$n>1,a\in\mathbb{Z},gcd(a,n)=1\to\exists r\in[1,n],a^r\equiv1\pmod{n}$$ $r$的最小整数值称为$a$模$n$的阶，记为$Ord_n(a)$ +\paragraph{阶的性质} + $$gcd(a,n)=1,r=Ord_n(a),\forall N\in\{x|a^N\equiv1\pmod{n}\}\Rightarrow r|N$$ + $$gcd(a,n)=1\Rightarrow Ord_n(a)|\varphi(n)$$ + $$\mbox{特别的，}p\in\mathbb{P},gcd(a,p)=1\Rightarrow Ord_p(a)|p-1\mbox{，显然}\varphi(p)=p-1$$ +\paragraph{原根} $n\in\mathbb{N_+},a\in\mathbb{Z},Ord_n(a)=\varphi(n)$，则称$a$为模$n$的一个原根，由阶的定义可知原根和$n$必然互质。 +\paragraph{求质数$p$的原根算法} + 暴力从小到大枚举$g\in\mathbb{N_+}$，$\forall a\in\{x\;|\;x|p-1,x\in\mathbb{P}\},g^{\frac{p-1}{a}}\not\equiv1\pmod{p}$ +\codeinput[Primitive Root]{assets/day3/proot.cpp} +\paragraph{练习题} +\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=1284}{POJ1284} - Primitive Roots} 如果$n\in\mathbb{N_+}$有一个原根，那么$n$一共有$\varphi(\varphi(n))$个不同余的原根 +\codeinput[Primitive Roots]{assets/day3/poj1284.cpp} \end{document} \ No newline at end of file