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\documentclass[]{cpp}
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\title{省选基础算法}
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\author{雷宇辰}
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\begin{document}
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\setcounter{page}{0}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\setcounter{page}{1}
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\section{day1 图论}
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\subsection{有向图强连通分量的 Tarjan 算法}
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\paragraph{定义}
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在\textbf{有向图$G$}中，如果两个顶点$u,v$间存在一条路径$u$到$v$的路径且也存在一条$v$到$u$的路径，则称这两个顶点$u,v$是\textbf{强连通的(strongly connected)}。如果有向图$G$的每两个顶点都强连通，称$G$是一个\textbf{强连通图}。有向非强连通图的 极大强连通子图，称为\textbf{强连通分量(strongly connected components)}。若将有向图中的强连通分量都缩为一个点，则原图会形成一个 DAG（有向无环图）。
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\subparagraph{极大强连通子图}
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G 是一个极大强连通子图当且仅当 G 是一个强连通子图且不存在另一个强连通子图 G’使得 G 是 G’的真子集。
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\paragraph{Tarjan 算法}
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定义$dfn(u)$为结点$u$搜索的次序编号，给出函数$low(u)$使得\\
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$low(u) = min$
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\\$\{$\\
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\verb| |$dfn(u),$\\
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\verb| |$low(v),$ \quad $(u,v)$为树枝边，$u$为$v$的父结点\\
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\verb| |$dfn(v)\;$ \quad $(u,v)$为后向边或指向栈中结点的横叉边
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\\$\}$\\
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当结点$u$的搜索过程结束后，若$dfn(u)=low(u)$，则以$u$为根的搜索子树上所有还在栈中的结点是一个强连通分量。
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\subparagraph{代码}$\\$
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\codeinput[tarjan - SCC]{assets/day1/tarjan-scc.cpp}
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\paragraph{练习题}
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\subparagraph{
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\href{http://poj.org/problem?id=2186}{POJ2186}/\href{http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1051}{BZOJ1051} - Popular Cows} 双倍的快乐
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\codeinput[Popular Cows]{assets/day1/poj2186.cpp}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=3180}{POJ3180} - The Cow Prom}
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\verb|The N (2 <= N <= 10,000) cows are so excited.|
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\codeinput[The Cow Prom]{assets/day1/poj3180.cpp}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=3180}{POJ1236} - Network of Schools}
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强连通分量缩点求出度为0的和入度为0的分量个数
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\codeinput[Network of Schools]{assets/day1/poj1236.cpp}
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\subsection{图的割点、桥与双连通分量}
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\paragraph{定义}
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\subparagraph{点连通度与边连通度}
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在一个\textbf{无向连通图}中，如果有一个顶点集合$V$，删除顶点集合$V$，以及与$V$中顶点相连（至少有一端在$V$中）的所有边后，原图\textbf{不连通}，就称这个点集$V$为\textbf{割点集合}。\\
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一个图的\textbf{点连通度}的定义为：最小割点集合中的顶点数。\\
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类似的，如果有一个边集合，删除这个边集合以后，原图不连通，就称这个点集为\textbf{割边集合}。
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\subparagraph{双连通图、割点与桥}
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如果一个无向连通图的\textbf{点连通度大于$1$}，则称该图是\textbf{点双连通的(point biconnected)}，简称双连通或重连通。一个图有\textbf{割点}，当且仅当这个图的点连通度为$1$，则割点集合的唯一元素被称为\textbf{割点(cut point)}，又叫关节点(articulation point)。一个图可能有多个割点。\\
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如果一个无向连通图的\textbf{边连通度大于$1$}，则称该图是\textbf{边双连通的(edge biconnected)}，简称双连通或重连通。一个图有\textbf{桥}，当且仅当这个图的边连通度为$1$，则割边集合的唯一元素被称为\textbf{桥(bridge)}，又叫关节边(articulation edge)。一个图可能有多个桥。\\
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可以看出，点双连通与边双连通都可以简称为双连通，它们之间是有着某种联系的，下文中提到的双连通，均既可指点双连通，又可指边双连通。（但这并不意味着它们等价）\\
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双连通分量（分支）：在图 G 的所有子图 G'中，如果 G'是双连通的，则称 G'为双连通子图。如果一个双连通子图 G'它不是任何一个双连通子图的真子集，则 G'为极大双连通子图。双连通分量(biconnected component)，或重连通分量，就是图的极大双连通子图。特殊的，点双连通分量又叫做块。
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\paragraph{Tarjan 算法}
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给出函数$low(u)$使得\\
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$low(u) = min$
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\\$\{$\\
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\verb| |$dfn(u),$\\
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\verb| |$low(v),$ \quad $(u,v)$为树枝边(父子边)\\
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\verb| |$dfn(v)\;$ \quad $(u,v)$为后向边(返祖边) 等价于$dfn(v)<dfn(u)$且$v$不为$u$的父亲结点
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\\$\}$\\
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\subparagraph{代码}$\\$
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\codeinput[tarjan - BCC]{assets/day1/tarjan-bcc.cpp}
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\paragraph{练习题}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=3177}{POJ3177} - Redundant Paths}
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将一张有桥图通过加边变成边双连通图，至少要加$\frac{leaf+1}{2}$条边。
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\codeinput[Redundant Paths]{assets/day1/poj3177.cpp}
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\subparagraph{\href{http://poj.org/problem?id=1523}{POJ1523} - SPF}
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求割点与删除这个点之后有多少个连通分量
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\codeinput[Redundant Paths]{assets/day1/poj1523.cpp}
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\end{document} |
